1、ε为给定的无限接近于0或者无穷小?
你还处于高中的常量或者单纯的自变量到因变量的思维惯性.其实你换种心态去看这个东西.
每次用这个语言的时候开头是怎么说的, 对于任给的正数ε ,如何如何.就是这个意思.
其实对于任意这个是数理逻辑里的一个逻辑量词.用ε这个符号是历史原因,你用别的符号都没啥问题.主要是它必须表示的是任给的一个正数.
我举个例子. 你要说明 -1比所有的正整数都小.你只要证明,对于任给的正整数N, N+1>0所以N>-1.根据N的任意性就可以知道-1比任意的N都小.
欧氏空间最常规情况下的序列的极限是用ε这种方式来给出的,是为了给出极限的一种严格的定义.不要去把ε当作什么所谓的无穷小或者什么,它就是任意给定的一个正数,没有别的.
2. Xn表示N项的值?
我没看懂你问题的意思. Xn 一般是表示指标n对应的项Xn.
3.Xn-A绝对值＜ε,表示n项的值-A＜ε
...同2. 式子字面是什么意思,它就是什么意思.数学不允许模糊不清的内容存在,所以它的每条的意思就是它自身.并没有任何潜台词.你不必想太多.它的意思就是 第n项的值到常数A的绝对值距离比ε小,其实关键的地方不在于此,在于你没打出来的更重要的前提条件,这里的n是任给的大于N的正整数,而N是在任意的ε给定前提下写的存在.你姑且可以这么理
不管你给的是什么ε,我都能找到个N,使得从第N+1项开始之后所有的项都满足到A的绝对值距离小于你给的ε.【极限的意义在于这个ε控制了无穷多项到固定点A的距离,而ε是任意给定的正数,你想想,你随便给的正数,我都能把无穷多个点塞进去.这不就是说这个数列无限地聚集在这个这个中心附近吗?】
4. 见上所述.
初学一时半会儿没搞明白很正常,十几年在没有严格的微积分的世界里呆习惯了、一下出现这种很不一样的思维模式不习惯很正常.下面我给你个小故事,希望对你悟性有帮助.
小学一年级,老师教刚幼儿园毕业的小朋友1+1=2. 老师说：“一个苹果+一个苹果是两个苹果...所以是1+1=2”.
小朋友大喜,说“原来1是苹果”
老师急了,“不对,你看 你把苹果换成香蕉, 一个香蕉+一个香蕉是两个香蕉”
小朋友困惑了“1到底是苹果还是香蕉呢”
老师回答说“1可以表示苹果,也可以表示香蕉,可以表示任何可以数出来,相加不会产生别的变换的东西”
小朋友这下完全窘了：“一开始还听得懂,现在我完全不知道1是什么了.老师,1到底是什么阿”
高中一年级,学集合.刚初中毕业的小朋友问老师：“老师,集合的元素到底是什么阿”
老师：“擦,问那么多作鸟.题目会做就好,滚一边去.高考考好点.别钻牛脚尖”
依次类推.小朋友,现在你读大学了
再问： {Xn} 为实数列，a 为定数．若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣Xn-a∣N 时有∣Xn-a∣
