The nurse felt it her duty to help the sick.

这句话完全正确.her duty to help the sick 是 it 的宾语补足语.
宾语补足语:
某些及物动词的宾语后面还需要有一个补足语,意思才完整,宾语和它的补足语构成复合宾语.而复合宾语的第一部分通常由名词或代词充当,第二部分表示第一部分的名词或代词发出的动作或身份、特征等,称为宾语补足语.
[编辑本段]【举例】
比如说：
I'm going to paint it pink.
句子中的it显然是宾语.但是主语将要做的并不是it,而是paint it pink.pink 是句子中的宾语补足语.它和宾语之间是逻辑上的主谓关系,也就是说从逻辑上来讲,是执行了paint的动作.
句子中的pink是形容词做宾语补足语.能够充当宾补的还有宾语补足语的大致有：不定式,现在分词,过去分词,形容词,副词,介宾短语等.一般情况下,宾补通常紧跟在宾语之后.
比如：
I find learning English difficult.(difficult是形容词做宾补）
I saw the kite up and down. （up and down是副词做宾补）
Tom made the girl cry. (cry是省略不定式符号to的动词不定式）
*常跟复合宾语的动词有：call,name,make,think,find,leave,keep,nominate(任命),choose,elect(选举),define(定义),regard, see, recognize,treat, take,consider, look up, refer to, accept, acknowledge,describe,depict(描述),represent(表现出),declare(宣称),denounce, employ(雇佣), use, show, organize, express