l an really sorry that l ----(make)a mistake

这句就用简单过去式 made
理由其实也很简单,不需要想得过于复杂.
教科书中试图用科学方法归纳出一些 “理论” ,来剖析什么时候该用过去时,什么时候用完成时,乃至有 “过去发生或已完成的动作,对现在所造成的影响或后果” 这样的说法.
在实践中则不然,这些完全是视语境的需要而定.
例如：
I‘ve been to China more than once.我（曾经）去过中国不止一次
This is the second time that he’s made the same mistake.这（已经）是他第二次犯同样的错误了
这两句话要表达（或强调）的重点在 “曾经”、“已经”,很明显地用完成时可以达到这个目标.
你向王光煊老师提到的这句：Mum,l have done my homework yesterday
事实上,用 did 或 have done 都没错,完全取决于场景、说话时的语气和想要表达的情绪.
需要说明的是：
homework 未必见得每天都有,不像国内学生负担这么重.
有些 homework (如读书报告) 不是一天可以完成的.
以不同场景的实例来看看这两句的不同：
《1》 Sunday evening,John is watching TV
Mom:John,it's getting late,don't you have any homework?
John:Mum,l did my homework yesterday.（有啦,昨天就做了）
《2》 Sunday morning,John's family just finished breakfast.
Mom:John,you'd better finish your homework first before playing with the computer.
John:Mum,l have done my homework yesterday.（我昨天就已经做好了啦,烦!）
在口语对话的实例中,我们不只从用字遣词中找到 “语感”,采用不同的时态搭配不同语调,本身就足以体现出说话者的“情绪反应”.
因此,这句 I am really sorry that I made a mistake.
很简单的表达：我错了,很抱歉.（很抱歉我犯了一个错误）
假设题目这么出：I am really sorry that I _____ (be) wrong.
应该毫无疑问的就选过去式 was,不会选用完成时 have been.
两句话实质意思完全相同,为自己（这次）的错表达歉意,没有任何必要在表达中添加 “曾经” 的含义.
后记：
经常在此看到就 “过去时”、“完成时” 在使用上孰对孰错的争议,借你这个提问稍微深入地为大家总结一下个人旅美30余年在英语使用上的经验.
总想告诉大家的是：语言是一种艺术,并不属于科学范畴,有太多的 ”特殊案例“ 无法用教科书上笼统的归纳方式去解释,这就是所谓 ”语感" .不单英文是如此,中文也一样.