令an=n*(1/6)*(5/6)^(n-1)
a1=1*1/6 *(5/6)^(1-1)
a2=2*1/6*(5/6)^(2-1)
a3=3*1/6*(5/6)^(3-1)
.
前n项和为Sn=a1+a2+a3+.+an
=1/6[1*(5/6)^0+2*(5/6)+3*(5/6)^2+.+n*(5/6)^(n-1)]
所以5/6 *Sn=1/6[1*(5/6)+2*(5/6)^2+3*(5/6)^3+.+(n-1)*(5/6)^(n-1)+n*(5/6)^n]
Sn-5/6*Sn
=1/6[1+2*(5/6)-1*(5/6)+3*(5/6)^2-2*(5/6)^2+4*(5/6)^3-3*(5/6)^3+.+n*(5/6)^(n-1)-(n-1)*(5/6)^(n-1)-n*(5/6)^n]
=1/6[1+(5/6)+(5/6)^2+(5/6)^3+...+(5/6)^(n-1)-n*(5/6)^n]
=1/6[(1-(5/6)^n)/(1-5/6) -n*(5/6)^n]
=1/6[6-6*(5/6)^n-n*(5/6)^n]
=1/6[6-(n+6)*(5/6)^n]
所以Sn-5/6*Sn=1/6 *Sn=1/6[6-(n+6)*(5/6)^n]
所以Sn=6-(n+6)*(5/6)^n
Ex=lim(n->无穷大)Sn=lim[6-(n+6)*(5/6)^n]=6-lim(n+6)*(5/6)^n
=6
