问题描述：
已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx,若y=f(x)的导数f'(x)对x∈[-1,1]都有f'(x)≤2,求b/(a-1)的范围
请用线性规划回答,
答案是b/(a-1)∈(-∞,-2)∪[-1,+∞),
还有-1的范围是怎么判断的？怎么想到那个点的？
请用线性规划回答,
答案是b/(a-1)∈(-∞,-2)∪[-1,+∞),
还有-1的范围是怎么判断的？怎么想到那个点的？
问题解答：
我来补答
由f'(x)对x∈[-1,1]都有f'(x)≤2,有：
3x²+2ax+b≤2
而抛物线y=3x²+2ax+b的开口朝上
于是只需x=1和x=-1时满足条件3x²+2ax+b≤2,即能保证x∈[-1,1]都满足此条件
于是得到：3+2a+b≤2,3-2a+b≤2
即2a+b+1≤0,1-2a+b≤0
以a为横坐标,b为纵坐标建立坐标系,则b/(a-1)为点(a,b)与点(1,0)连线的斜率,如图所示
标出2a+b+1≤0,1-2a+b≤0表示的范围(图中灰色填充区)
方法：代a=b=0入不等式就知道原点这一侧是不是在范围里了
点(a,b)只能在范围里取(包括边),
其实就是找过点(1,0)并与图中灰色填充区相交的直线(图中绿色线)的斜率范围,
可以看出直线的斜率k的范围是(-∞,-2)∪[-1,+∞)
其中-2取不到是因为当k等于-2时,直线与2a+b+1=0平行,与(a,b)能取到的区域没有交点
3x²+2ax+b≤2
而抛物线y=3x²+2ax+b的开口朝上
于是只需x=1和x=-1时满足条件3x²+2ax+b≤2,即能保证x∈[-1,1]都满足此条件
于是得到：3+2a+b≤2,3-2a+b≤2
即2a+b+1≤0,1-2a+b≤0
以a为横坐标,b为纵坐标建立坐标系,则b/(a-1)为点(a,b)与点(1,0)连线的斜率,如图所示
标出2a+b+1≤0,1-2a+b≤0表示的范围(图中灰色填充区)
方法：代a=b=0入不等式就知道原点这一侧是不是在范围里了
点(a,b)只能在范围里取(包括边),
其实就是找过点(1,0)并与图中灰色填充区相交的直线(图中绿色线)的斜率范围,
可以看出直线的斜率k的范围是(-∞,-2)∪[-1,+∞)
其中-2取不到是因为当k等于-2时,直线与2a+b+1=0平行,与(a,b)能取到的区域没有交点
展开全文阅读