已知空间三点A,B,C的坐标分别是(1,-1,-1)(0,1,2)(0,6,6),则向量OC在平面OAB的法向量方向上的

问题描述:

已知空间三点A,B,C的坐标分别是(1,-1,-1)(0,1,2)(0,6,6),则向量OC在平面OAB的法向量方向上的投影
1个回答 分类:数学 2014-11-29

问题解答:

我来补答
OA=(1,-1,-1)
OB=(0,1,2)
设OP=(m,n,p)且垂直于平面OAB.
按定理:垂直于平面就是垂直这平面上的任一直线.即:OP 垂直于 OA,OB
故:有OP.OA=0, OP.OB=0
即有:m-n-p=0 (1)
n+2p=0 (2)
以p为参数,得
n=-2p
m=n+p=-2p+p=-p
即OP=(-p,-2p,p)
p可取不为零的任意值.为方便,取p=1
即OP=(-1,-2,1)为平面OAB的法向量.
OC=(0,6,6)
它在OP上的投影为:
L=|OC|*cos(OP,OC的夹角)
=|OC|*|OP|*cos(OP,OC夹角)/|OP| (恒等变形)
即:L=|OC|*cos(OP,OC的夹角)
=|OC|*|OP|*cos(OP,OC夹角)/|OP|
=OC.OP/|OP|
=(-12+6)/根号6
=-6/根号6=-根号6
如果OP取相反的方向,则投影为负,
即L=根号6.
本题未指定取哪一方向,故均可
 
 
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