矩阵论证明如图

提示已经很明确了,不会做很不应该.
利用Cayley-Hamilton定理,V中的所有元素都可以用I,A,A^2,...,A^{n-1}线性表示.
再问： Cayley-Hamilton定理是对于V-V的线性变换f，C(X)为f的特征多项式，则C(f)=0;这一题怎么运用呢？
再答： n阶方阵A当然是线性变换，A的特征多项式C(x)的次数是n，并且C(x)的首项是x^n，所以C(A)=0说明A^n可以由I,A,A^2,...,A^{n-1}线性表示。对于更高次幂，用归纳法即可。