a friend of mine 与 a friend of me 的区别是什么?

第二个说法是错的吧
(he is )a friend of mine——he is my friend——中文理解 他是“我的”朋友,mine是my的所有格形式
my——mime
your——yours
our——ours
it——its
其他his、her、their的所有格
看看参考资料的的第三个 3．双重所有格