（Ⅰ）求证：C1D∥平面ABB1A1；
（Ⅱ）求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角D-A1C1-A的余弦值
（Ⅰ）证明：四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1∥CC1,
又CC1⊄面ABB1A1,所以CC1∥平面ABB1A1,ABCD是正方形,所以CD∥AB,
又CD⊄面ABB1A1,所以CD∥平面ABB1A1,
所以平面CDD1C1∥平面ABB1A1,
所以C1D∥平面ABB1A1．
ABCD是正方形,AD⊥CD,
因为A1D⊥平面ABCD,
所以A1D⊥AD,A1D⊥CD,
如图,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz,．
在△ADA1中,由已知可得A1D= 3 ,
所以D(0,0,0),A1(0,0,3 ),A(1,0,0),C1(-1,1,3 ),B1(0,1,3 ),D1(-1,0,3 ),B(1,1,0),BD1 =(-2,-1,3 ),
因为A1D⊥平面ABCD,
所以A1D⊥平面A1B1C1D1,A1D⊥B1D1,
又B1D1⊥A1C1,
所以B1D1⊥平面A1C1D,
所以平面A1C1D的一个法向量为 n =（1,1,0）,
设 BD1 与n所成的角为β,
则cosβ= n • BD1 | n || BD1 | =-3 2 8 =-3 4
所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为3 4 ．
设平面A1C1A的法向量为 m =（a,b,c）,
则 m • A1C1 =0,m • A1A =0,
所以-a+b=0,a- 3 c=0,
令c= 3 ,可得 m =(3,3,3 ),
设二面角D-A1C1-A的大小为α,
则cosα= m • n | m || n | =6 2 21 = 42 7 ．
所以二面角D-A1C1-A的余弦值为 42 7 ．
