四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AD//BC,AB=AD=BC/2,∠ABC=60度,平面PAB⊥平面ABCD

（图我就不画了,具体我会文字说明.）
取BC中点O,取AB中点E,连接OE、PE,连接AC、AO.
三角形ABO是正三角形,四边形AOCD是平行四边形.
AB=BC/2,∠ABC=60,
三角形ABC是直角三角形,BC为斜边.
从以上条件可得四棱锥P-ABCD中,底面ABCD四点共圆,圆心在点O,BC为直径,
容易知道圆O的半径=AB.
平面PAB⊥平面ABCD,由于PA⊥PB,ABP三点共圆,圆心在E,半径=AB/2.
OE是正三角形ABO中AB边对应的高,OE⊥AB,OE⊥平面PAB,
OP^2=EP^2+OE^2 （勾股定理）
又EP=AB/2,OE=(2分之根号3)AB,
OP=AB.
所以四棱锥P-ABCD各个顶点共球,球心在O,球的半径=AB.
点O即为所求Q点.