琴生在1905年给出了一个定义：
设函数 的定义域为[a,b],如果对于[a,b]内任意两数 ,都有
（1）
则称 为[a,b]上的凸函数.
若把（1）式的不等号反向,则称这样的 为[a,b]上的凹函数.
凸函数的几何意义是：过 曲线上任意两点作弦,则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上.
其推广形式是：若函数 的是[a,b]上的凸函数,则对[a,b]内的任意数 ,都有
（2）
当且仅当 时等号成立.一般称（2）式为琴生不等式.
更为一般的情况是：设 是定义在区间[a,b]上的函数,如果对于[a,b]上的任意两点 ,有
其中 ,则称 是区间[a,b]上的凸函数.如果不等式反向,即有 则称 是[a,b]上的凹函数.
其推广形式 ,设 ,是[a,b]上的凸函数,则对任意 有 ,
当且仅当 时等号成立.
若 是凹函数,则上述不等式反向.该不等式称为琴生（Jensen）不等式.把琴生不等式应用于一些具体的函数,可以推出许多著名不等式.
