设曲线y=f(x)上任一点(x,y)处切线斜率为y/x加上x的平方, 且该曲线过点(1,1/2) 求曲线y=f(x)

已知dy/dx=f'(x)=y/x+x²,则有dy/dx-y/x=x²
对应的齐次线性微分方程为dy/dx-y/x=0
变形,得dy/y=dx/x
两边积分,得Ln丨y丨=Ln丨x丨+c
通解为y=c（x）x
代入原方程,得c’（x）x+c（x）=c（x）+x²,即c’（x）=x
积分,得c（x）=x²/2+C
代入,得y=（x²/2+c)x=x³/2+c
代入x=1,y=1/2得c=0
y=x³/2