球的体积公式和表面积公式,中学课本上没有介绍推导过程吗?圆周率的字母,电脑输入不那么方便,我就用数值 3.14代替吧.
体积公式,首先要知道定理,两个等高的立体形状,如果所有相同高度的横截面积都相等,那么这两个立体形状的体积就相等.非常形象的例子,就是取一摞纸或者一摞书,整整齐齐叠成长方体形状之后,推出一定的斜角,体积并没有发生变化,就因为相同高度那张纸或者那本书的面积没有变化.
正如小学学习圆锥体的体积,要首先看看等底等高的圆柱体,我们计算球体的体积,就也是先看看球体的外接圆柱体,底面半径就是球的半径 R,高就是球的直径 d,这样一来
V 外接圆柱 = 3.14 R" d = 2 X 3.14 R^3
毕竟球是对称的立体形状,体积我们就先看半个球、高等于半径 R 的外接圆柱
V 圆柱 = 3.14 R^3
再看看等底等高的圆锥体,体积是 (1/3) 3.14 R^3 .接下来我们就看看,这个圆柱与圆锥的体积差,就等于这半个球的体积.
想象一下儿,圆柱体从上面,倒立地拿走中间的圆锥体.这样一来,除了最下边的底面是完整的圆形,面积是 3.14R" ,中间每一个高度的截面,就都只剩环形了.环形面积是 3.14(R" - r" ),外圆面积减去内圆面积,因为这个圆柱和圆锥都是高等于底面半径,每个高度的环形截面的面积,就都是 3.14(R" - h" )
再看看半个球体,最下边最大的底面也是完整的圆形,面积 3.14R" ,横截面越升高,圆形半径 r 越小,面积 3.14r" 越小.想想勾股定理,同样的高度,截面圆的半径等于什么?r" = R" - h" ,这样看出来没有?这半个球的体积,就正等于这个圆柱和圆锥的体积差,是 (2/3) 3.14 R^3 ,如果是整个球,体积就是两倍,V 球 = (4/3) 3.14 R^3
球体体积说起来还相对简单,表面积就关联到内接圆台、圆台侧面积,说起来不能一步到位,相关知识你了解吗?希望你能够先把你所明白的知识讲一讲,我再继续给你做指导.
