已知：△ABC是任意三角形．

（1）证明：∵点M、P、N分别是AB、BC、CA的中点，
∴线段MP、PN是△ABC的中位线，
∴MP∥AN，PN∥AM，
∴四边形AMPN是平行四边形，
∴∠MPN=∠A．
（2） ∠MP₁N+∠MP₂N=∠A正确．
如图所示，连接MN，
∵
AM
AB=
AN
AC=
1
3，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴∠AMN=∠B，
MN
BC=
1
3，
∴MN∥BC，MN=
1
3BC，
∵点P₁、P₂是边BC的三等分点，
∴MN与BP₁平行且相等，MN与P₁P₂平行且相等，MN与P₂C平行且相等，
∴四边形MBP₁N、MP₁P₂N、MP₂CN都是平行四边形，
∴MB∥NP₁，MP₁∥NP₂，MP₂∥AC，
∴∠MP₁N=∠1，∠MP₂N=∠2，∠BMP₂=∠A，
∴∠MP₁N+∠MP₂N=∠1+∠2=∠BMP₂=∠A．
（3） ∠A．
理由：连接MN，
∵
AM
AB=
AN
AC=
1
2010，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴∠AMN=∠B，
MN
BC=
1
2010，
∴MN∥BC，MN=
1
2010BC，
∵P₁、P₂、…、P₂₀₀₉是边BC的2010等分点，
∴MN与BP₁平行且相等，MN与P₁P₂平行且相等，…，MN与P₂₀₀₉C平行且相等，
∴四边形MBP₁N、MP₁P₂N、…、MP₂₀₀₉CN都是平行四边形，
∴MB∥NP₁，MP₁∥NP₂，…，MP₂₀₀₉∥AC，
∴∠MP₁N=∠BMP₁，∠MP₂N=∠P₁MP₂，…，∠BMP₂₀₀₉=∠A，
∴∠MP₁N+∠MP₂N=∠BMP₁+∠P₁MP₂+…+∠P₂₀₀₈MP₂₀₀₉=∠BMP₂₀₀₉=∠A．