若矩阵A,B分别为m行n列,k行n列矩阵,且已知他们行向量等价,那么怎么证明AX=0与BX=0同解啊?

AX^T=0
的解空间即为A的行空间正交补空间（即,于A的行空间中所有向量都正交的向量构成的空间）
因为A,B的行向量等价,故A,B的行空间一样
故他们的正交补空间一样.
故AX^T=0与BX^T=0同解.
进而AX=0与BX=0同解.
再问： 可以用数学语言来证明吗？这种文字性的叙述，阅卷时不好得分 比如通过数学运算来证明，尽量不要文字
再答： 汗。。。 记V1={ala^T正交于所有的A的行向量}={ala^T正交于A的行空间中所有向量} V2={ala^T正交于所有的B的行向量}={ala^T正交于B的行空间中所有向量} 显然Ax=0的解空间为v1 Bx=0的解空间为v2 因为A，B的行向量组等价，故A，B的行空间相等，故V1=V2 故AX=0与BX=0的解空间相同。故AX=0与BX=0同解。 如果还要详细的话， 因为A，B的行向量等价，故存在C，有CA=B,（你用线性表示的方式很容易写） 任取a为Ax=0的解 则Aa=0,故CAa=C0,故Ba=0，故a为BX=0的解。 同理一样，故同解
再问： 嗯，这个解答很好！那反命题是否成立呢?即若AX=0与BX=0,通解，那么怎么证明A,B行向量等价？注意，A,B的行数目不等
再答： 汗。。。反过来，一样的，正交补的正交补就是自己啊 用第二种方法的话 AX=0与BX=0,同解 故 于 （A^T,B^T)^Tx=0 同解 因为解空间维数等于列数-系数矩阵的秩 故r(（A^T,B^T)^T)=r(A) 故B的行向量组可以由A的行向量组线性表示 同理。故等价