在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA垂直底面ABCD,E、F是PC、AB的中点,AP=AD 求证EF垂直平面

证明：
先证明EF⊥PC,再证明EF⊥PD.
1) 连结PF,FC.
∵PA⊥面ABCD,ABCD是矩形
∴∠PAF=∠FBC=90°
∵F是AB中点,PA=AD
∴FA=FB,PA=BC
在△FAP和△FBC内根据勾股定理,知道FP = √(FA^2 + AP^2) = √(FB^2 + BC^2) = FC.
因此F在PC的垂直平分线上.
又因为E是PC中点
所以EF是PC的垂直平分线,EF⊥PC.

2) 取PD的中点G,连结EG,GA.
∵E和G分别是PC和PD的中点
∴EG是△PCD的中位线
∴EG//CD//AB,EG=CD/2=AB/2
∴EG与AF平行且相等,AFEG是平行四边形.
∴EF//AG.
然而△APD是等腰直角三角形,G为斜边中点
∴AG⊥PD.
∴EF⊥PD.

由于EF⊥PC,EF⊥PD,PC和PD同属于平面PCD且交于点P,所以EF⊥平面PCD.