已知M是以点C为圆心的圆(x+1)^2+y^2=8上的动点,定点D(1,0).点P在DM上,点N在CM上,且满足向量DM

图形我就不给你画了,很简单,看下面的求解过程时你自己画个图更容易明白.
（1）：
首先连接DN.由于向量DM=2向量DP,即P为DM中点；又向量NP*向量DM=0,即PN垂直于DM.于是PN垂直平分DM,所以DN=MN.所以NC+ND=NC+NM=MC=R=根号8（半径）.那么显然点N在一个以C/D两点为焦点的椭圆上.
NC+ND=2a=根号8 a=根号2
焦点c=1,则b=根号下（a^2-c^2）=1
所以曲线E的方程为x^2/2+y^2/1=1
(2)：
这一问有点烦人.你需要仔细考虑一下,选择一个简化的办法.我采用如下的解法：
思路：要求三角形AOB面积其实就是要求原点到直线AB的距离（三角形的高）.于是问题转为为求原点到直线AB的距离
设A（m1,n1),B(m2,n2)
那么有如下三个关系式
m1^2/2+n1^2=1;
m2^2/2+n2^2=1;
(m1-m2)^2+(n1-n2)^2=4.
直线AB的发方程可以根据A（m1,n1),B(m2,n2)写出来.
然后原点到直线AB的距离d可以根据直线AB的方程简单写出.
上面三个关系式是个未知数,可以求出（m1+m2）(m1-m2)(n1+n2)(n1-n2)是个四个表达式的关系,带入到直线d之中去,就可以求出d的范围.
具体演算我不给你写了吧,自己按照这个思路体会一遍,比直接看我写的更能够提高.
最后的结果为[0,根号2除以2]
其实,还有个几何解法,说说不知道你能不能理解了.
由于弦长刚好等于短轴长,于是最小的面积就是AOB共线时的,面积为0；
最大面积显然是弦AB垂直于y轴时情形.此时口算可知,A坐标为(1,根号2/2）B坐标为(－1,根号2/2）或者A坐标为(1,负根号2/2）B坐标为(－1,负根号2/2）.这时对应面积为1/2*2*根号2/2=根号2/2.为最大值
所以面积范围为[0,根号2/2]
恩,考虑到说的是三角形,所以面积应该为（0,根号2/2],左开右闭的形式,这一点感谢一楼的提醒.