如果说数学家是魔术师的话,无穷就是一根最强大的魔杖.在Manfred Schröder的一篇题为Fractals in Music的论文里,作者提到,把每个正整数对应的二进制数中“1”的个数依次写下来,得到的数列有一个很神奇的性质：划掉所有的奇数项,得到的序列仍然是整个序列本身.
十进制数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
二进制数 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110
1的个数 1 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 2 3 3
取偶数项 1 1 2 1 2 2 3
最初我是在《算法艺术与信息学竞赛》里见到这个东西的,当时硬是被震撼住了.这样的序列叫做“自相似序列”,意思是说自己的一部分等于本身.注意到,这个“自相似”可以无限制地进行下去.再次取出所得的序列中的偶数项,结果还是与最初的序列一样；再这样做下去做无数次,每一次的结果都会与原始序列相同.也就是说,无穷里面包含了无穷多个规模不同的无穷,并且所有这些无穷都和原来完全相同.不过呢,仔细一想你会发现这个一点也不奇怪,奥妙就在于,n和2n的二进制表达中唯一的差别就是末尾的那个“0”.
