将矩形OABC放入以O为原点的平面直角坐标系中,使OA、OC分别落在x轴、y轴上,连接OB,将纸片PABC沿BO折叠

如图,矩形OABC放入平面直角坐标系中,使OA,OC分别落在x轴,y轴上,连接OB,将纸片OABC沿BC折叠,使点A落在点A′处,A′B与y轴交于点F．已知OA=1,AB=2．
（1）设CF=x,则OF=2-x
2-x
；
（2）求BF的长；
（3）设过点B的双曲线为,试问双曲线l上是否存在一点M,使得以OB为一边的△OBM的面积等于1?若存在,试求出点M的横坐标；若不存在,试说明理由．
（1）∵四边形ABCO是矩形,
∴OC=AB,
∴OF=2-x；
（2）由轴对称的性质可知：∠FBO=∠OBA,
在矩形OABC中,OC∥AB,
则∠FOB=∠OBA,
∴∠FBO=∠OBA,
∴BF=OF=2-x；
在Rt△FCB中,BC=OA=1,
由勾股定理可得：BF2=CF2+BC2
即：（2-x）2=x2+12,
解得：x=3 4 ,
则BF=OF=2-3 4 =5 4 ．
（3）设双曲线l的解析式为：y=k x （k≠0）,又过点B（1,2）
∴2=k 1 ,
∴k=2,
∴y=2 x ,
∵S△OAB=1 2 OA•AB=1 2 ×1×2=1,
∴S△COB=S△A′OB=1．
∴双曲线l上符合条件的点M,应在与OB平行且距离等于点C到OB的距离的直线上,
∵直线OB过点（0,0）,（1,2）
∴直线OB的解析式为y=2x,
则过点C与OB平行的直线为：y=2x+2,
点M可能是过点C且与OB平行的直线与双曲线l的交点,
由 y=2x+2 y=2 x ,
解得：x=-1± 5 2 ,
由轴对称性可知,点M可能是过点A且与OB平行的直线与双曲线l的交点,
由 y=2x-2 y=2 x ,
解得：x=1± 5 2
综上,符合条件的点M的横坐标是x=-1± 5 2 或x=1± 5 2 ．