问题描述：
如图,已知A点坐标为(4,0),B点坐标为(0,8),点M是线段OA上一动点(与不点O,点A重合),
且运动始终保持ON=2AM,连接MN,并作△OMN的角平分线OD.
（1）当△OMN是等腰三角形时,求MN的长；
（2）当点M处于什么位置时,MN最短?并求出这个最短长度；
（3）点D是否存在整点（横、纵坐标均为整数的点）的可能?若不存在,请说明理由；若存在,则请求出所有使点D成为整点的点M的位置
且运动始终保持ON=2AM,连接MN,并作△OMN的角平分线OD.
（1）当△OMN是等腰三角形时,求MN的长；
（2）当点M处于什么位置时,MN最短?并求出这个最短长度；
（3）点D是否存在整点（横、纵坐标均为整数的点）的可能?若不存在,请说明理由；若存在,则请求出所有使点D成为整点的点M的位置
问题解答：
我来补答
（1）因OMP⊥ON,
当△OMN是等腰三角形时,
只可能是OM=ON；
∵ ON=2AM,
∴ OM+AM=2AM+AM=OA=4,
∴ AM=4/3,OM=8/3；
∴ MN=√2*(8/3)=8√2/3；
（2）MN²=OM²+ON²=(4-AM)²+4AM²=5AM²-8AM+16=5(AM -4/5)² +64/5 ≥ 64/5；
∴ MN≥8√5/5；
此时 AM=4/5,OM=4 -4/5=16/5；
（3）OD平分直角∠MON,
故D纵横坐标相等,
设为(c,c),
直线MN的方程为y-c=k(x-c)；（k<0）
MN在 x 轴上的截距 OM=4-AM=c -c/k；
MN在 y 轴上的截距 ON=2AM=c -kc；
∴ 4-c +c/k=(c-kc)/2,c=8/[3-k-(2/k)]；
当 3-k-(2/k)=2、4、8 时,c=4、2、1 为整点位；
但 c=x=4 时意味着M必须重合于 A(4,0),不合题意；
∴ 3-k-(2/k)=4,此方程无解；
或 3-k-(2/k)=8,
解得：k=(-5±√17)/2；
∴ c=1,OM=1 +1/k=1 +1/(-5±√17)/2)=1 -(5±√17)/8,
舍去负值后得：OM=(3+√17)/8；
如果本题有什么不明白可以追问,如果满意记得采纳
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