已知：关于x的方程（k-1）x2-2kx+k+2=0 有实数根．

（1）当k-1=0即k=1时，方程为-2x+3=0，
x=
3
2，即方程有实数根；
当k-1≠0时，△=（-2k）²-4•（k-1）•（k+2）≥0时，方程有实数根，
即k≤2，
综合上述：k的取值范围是k≤2；
（2）∵x₁，x₂是方程（k-1）x²-2kx+k+2=0的两个实数根，
∴（k-1）x₁²-2kx₁+k+2=0①，
x₁+x₂=-
−2k
k−1=
2k
k−1，x₁•x₂=
k+2
k−1，
∴x₂=
2k
k−1-x₁，
∵（k-1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂，
∴（k-1）x₁²+2k（
2k
k−1-x₁）+k+2=4•
k+2
k−1
∴（k-1）x₁²+
4k2
k−1-2kx₁+k+2=4•
k+2
k−1
即：（k-1）x₁²-2kx₁+k+2+
4k2
k−1=4•
k+2
k−1②，
把①代入②得：
4k2
k−1=4•
k+2
k−1
k²-k-2=0，
k=2，k=-1，
当k=2时，△=0，即方程有两个相等的实数根，
∵x₁≠x₂，
∴k=2舍去，
即k=-1．