一个关于矩阵理论的证明题

幂等变换是否是A^2=A如果以A来表示这个线性变换
是这样,那证明如下:
在我们选取一组标准正交基e1,e2,...en之后
设V中任意一个线性变换,他在这组基下对应的度量矩阵是A.
则原命题等价于证A=TB
其中B^2=B,T是一个可逆矩阵.
我们知道任意一个矩阵A,设他的秩是r,存在可逆的矩阵P,Q
使得PAQ=E(r) 平常不这么表示,因为是n阶方阵,我这里写不出来.我用E(r)表示对角矩阵对角线上是1,1,1...,1 r个1然后是0,0,0 n-r个0的这样一个n阶方阵.
则A=P^(-1)E(r)Q^(-1)=P^(-1)Q^(-1)QE(r)Q^(-1)
其中T=P^(-1)Q^(-1)是可逆方阵,B=QE(r)Q^(-1)是一个满足条件的矩阵
于是,原命题得证.