求y''-2y'+5y=e^xsin2x的通解 我知道答案和大概过程,但是不知道a=-0.25和b=0怎么算的 求详解

∵齐次方程y''-2y'+5y=0的特征方程为
r^2-2r+5=0
解得特征根r1=1+2i.r2=1-2i
又非齐次方程y''-2y'+5y=e^xsin2x
其中f(x)=e^xsin2x
α=1,l=0,m=0,β=2
α±βi=1±2i为该特征方程的特征根
∴k=1
∴特解y*=xe^x(acos2x+bsin2x)
有（y*）′=x′e^x(acos2x+bsin2x)+x（e^x）′(acos2x+bsin2x)+xe^x(acos2x+bsin2x)′
=e^x(acos2x+bsin2x)+xe^x(acos2x+bsin2x)+xe^x(-2asin2x+2bcos2x)
=e^x[acos2x+bsin2x+x(acos2x+bsin2x)+x(-2asin2x+2bcos2x)]
=e^x[acos2x+bsin2x+x(a+2b)cos2x+x(b-2a)sin2x]
有（y*）″=(e^x)′[acos2x+bsin2x+x(a+2b)cos2x+x(b-2a)sin2x]
+e^x[acos2x+bsin2x+x(a+2b)cos2x+x(b-2a)sin2x]′
=e^x[acos2x+bsin2x+x(a+2b)cos2x+x(b-2a)sin2x]
+e^x[-2asin2x+2bcos2x+(a+2b)cos2x+(-2x(a+2b)sin2x)+(b-2a)sin2x+2x(b-2a)cos2x]
=e^x[acos2x+bsin2x+x(a+2b)cos2x+x(b-2a)sin2x]
+e^x[(a+4b)cos2x-2x(a+2b)sin2x)+(b-4a)sin2x+2x(b-2a)cos2x]
=e^x[acos2x+bsin2x+x(a+2b)cos2x+x(b-2a)sin2x+(a+4b)cos2x-2x(a+2b)sin2x+(b-4a)sin2x+2x(b-2a)cos2x]
=e^x[x(-3a+4b)cos2x+x(-3b-4a)sin2x+(2a+4b)cos2x+(2b-4a)sin2x]
将y*.(y*)′,(y*)″带入y''-2y'+5y=e^xsin2x中
得e^x[x(-3a+4b)cos2x+x(-3b-4a)sin2x+(2a+4b)cos2x+(2b-4a)sin2x]-2e^x[acos2x+bsin2x+x(a+2b)cos2x+x(b-2a)sin2x]+5xe^x(acos2x+bsin2x)=e^xsin2x
最后解出a,b有两种方法,各有优缺点.
①
消e^x得
[x(-3a+4b)cos2x+x(-3b-4a)sin2x+(2a+4b)cos2x+(2b-4a)sin2x]-2[acos2x+bsin2x+x(a+2b)cos2x+x(b-2a)sin2x]+5x(acos2x+bsin2x)=sin2x
即
x(-3a+4b)cos2x+x(-3b-4a)sin2x+(2a+4b)cos2x+(2b-4a)sin2x-2acos2x-2bsin2x-2x(a+2b)cos2x-2x(b-2a)sin2x+5axcos2x+5bxsin2x=sin2x
即
[x(-3a+4b)+(2a+4b)-2a-2x(a+2b)+5ax]cos2x+[x(-3b-4a)+(2b-4a)-2b-2x(b-2a)+5bx]sin2x=sin2x
即
[2bx+4b]cos2x+[-4a)]sin2x=sin2x
∴b=0 .a=-0.25
②当x=0时,y*=xe^x(acos2x+bsin2x)=0
（y*）′=e^x[acos2x+bsin2x+x(a+2b)cos2x+x(b-2a)sin2x]=a
（y*）″ =e^x[x(-3a+4b)cos2x+x(-3b-4a)sin2x+(2a+4b)cos2x+(2b-4a)sin2x]=2a+4b
又y*.(y*)′,(y*)″满足y''-2y'+5y=e^xsin2x
∴（2a+4b）-2a+0=0
解得b=0
当x=∏/4时 【注：此时sin2x=sin∏/2=1,cos2x=cos∏/2=0故取次特殊点】
y*=xe^x(acos2x+bsin2x)=∏/4•e^(∏/4)•b=0 【已求出b=0】
（y*）′ =e^x[acos2x+bsin2x+x(a+2b)cos2x+x(b-2a)sin2x]=e^(∏/4)[b+∏/4•(b-2a)]
=e^(∏/4)[∏/4•(-2a)]
（y*）″ =e^x[x(-3a+4b)cos2x+x(-3b-4a)sin2x+(2a+4b)cos2x+(2b-4a)sin2x]
=e^(∏/4)[(∏/4)•(-3b-4a)+(2b-4a)]
=e^(∏/4)[(∏/4)•(-4a)-4a]
又y*.(y*)′,(y*)″满足y''-2y'+5y=e^xsin2x
∴e^(∏/4)[(∏/4)•(-8a)]-2e^(∏/4)[∏/4•(-2a)]+0=e^(∏/4)
消e^(∏/4)
即
[(∏/4)•(-4a)-4a]-2[∏/4•(-2a)]=1
即
-4a=1
解得a=-0.25