已知圆的方程为(X-1)2+Y2=4,过点(3,-3)的直线交圆的弦为AB,求中点M的轨迹方程

设A(x1,y1)B(x2,y2),其中点M(x0,y0),则：x1 + x2 = 2x0,y1 + y2 = 2y0
易证P(3,-3)在圆外,假设过P的直线L斜率是存在的,设为k,根据点斜式可得L：y+3 = k(x-3)
把A、B坐标代入圆的方程：
(x1-1)²+y1²=4
(x2-1)²+y2²=4
相减、整理可得：(x1-x2)(x1+x2-2)=-(y1-y2)(y1+y2)
即：[(y1 - y2)/(x1 - x2)]·[(y1 + y2)/(x1 + x2-2)] = -1
∵x1 + x2 = 2x0,y1 + y2 = 2y0,根据斜截式：k = [(y1 - y2)/(x1 - x2)]
∴k·[(y0)/(x0-2)] = -1,∴k = (2-x0)/y0,代入直线方程：
y+3 = [(2-x)/y] ·(x-3)
∴x²-5x+6+y²+3y=0.T式
当k不存在,即L垂直x轴时,可算得L此时与圆相切,∴不可能有A、B两个交点
∴化简T式可得弦AB的中点M的轨迹方程：
[x - (5/2)]²+ [y+(3/2)]² = 10/4 ,这是圆
再问： 还有另外的解法吗？
再答： 这个是常规解法 上面的方法没问题 不过中间有一点算错了 下面再给出一个解法 相对简单一点的 供你参考吧 同上 可知 过点P(3,-3)且与圆相交的直线的斜率必定存在且不为0 设此直线L方程为：y+3 = k(x-3) ① ∵圆心C(1,0)与M连线垂直于直线L ∴CM所在直线方程为：y-0=(-1/k)(x-1) 即：y=(1-x)/k 整理得：k=(1-x)/y 代入①式得： y+3=(1-x)(x-3)/y 整理得：x²+y²-4x+3y+3=0 即：点M的轨迹方程为：(x-2)²+(y+3/2)²=4