如图1,边长为2的正△ABC内有一点P,它到三边的距离分别为PD、PE、PF．求(1)PD+PE+PF的值; (2)PD

解；
面积不变可得：三个小面积 的和 等 大三角形的面积
S=(1/2)*(PD+PE+PF)*2 = (1/2)*2*2*cos60°
PD+PE+PF = √3
2,
PD²+PE²+PF² 的最小是,就是三者相等的的时候：
(PD²+PE²+PF² )min = 3 * (√3/3)² = 1
3,
面积的最大值,就是三边相当的时候,就是点P在三角形内最中心.
这时候,△DEF的边长都是1.
Smax= (1/2)* 1*1*cos60°
Smax= √3、4
再问： 第一问你用的方法是9年级下学期的内容，但要用上学期之前所学的内容解答，直接用面积法就可以证明三边之和等于等边三角形的高，也就是根号3，还有你的第二问不要用高中的不等式证明。
再答： 举个例子， a+b =2 那么a2+b2的最小值是多少呢？ a2+b2 =（a+b）2 - 2ab =4 - 2ab = 4 - 2a(2-a) =2a2 - 4a +4 =2(a-1)2 +2 就是说当a=1的时候，a2+b2最小， 这时候b的值呢？是不是也是1？那就说明ab相等的时候，a2+b2 最小。 这是一个结论，就是a+b+c+...+n=P，如果P是个定值的话， 那么a2+b2+c2+...+n2的最小是，就是当a=b=c=...=n的时候。每个值都想等才最小。这是一个结论，所以第二问的答案就是这样来的。 第三问的证明，还是看第二问， a2+b2 =（a+b）2 - 2ab 这时候求的是a2+b2 的最小值，那么（a+b）2 =4是不是个定值？既然是定值，那么求的2ab是不是就是最大值，只有2ab最大的时候，a2+b2 才最小啊，所以求a2+b2最小的时候，就间接求了ab的最大值。 那么为什么求ab的最大值呢， 设三角形ab边的夹角是α 这个是和面积相关的， 面积S=（1/2）*a*b*cosα， 这个面积可以用三种表示S=（1/2）*a*c*cosβ，S=（1/2）b*c*cosγ， 是不是三种表示求的都是一个三角形DEF的面积，那么相加，就是三倍的面积。 这时候三倍面积最小，也是一个面积最小。 三个面积表达式相加的时候，什么情况下最小？当然是等边三角形的时候了。 所以有了第三问的结论。