一个关系不具有自反,对称,传递这3种基本性质之一,但均可以通过对该关系的扩充(在关系中增添序偶),使扩充后的关系具有这种性质,这种包含该关系的最小扩充称为该关系关于这种性质的闭包.下面给出闭包的定义.
设R是X上的关系,R的自反(对称,传递)闭包R1是这样的包含R(或R包含于R1)的自反(对称,传递)关系,对任意的自反(对称,传递) 关系S,如果R包含于S,则必有R1包含于S.
关系闭包在数学中,在日常生活中均有广泛的应用,比如在数学中,小于()关系均没有自反性,但它们的的自反闭包是小于等于(≤)或大于等于((≥),却有自反性,在数学中经常要用到小于关系表示量之间的关系,但是有时感到用小于关系不方便,而用小于等于关系,实际上是将量之间的关系进行扩大,不自觉地用了小于的自反闭包,日常生活中我们按同龄或同班或同乡关系将人分组,一般来说同龄,同班,同乡关系指两个不同的人之间的一种关系,这种关系就不具有自反性,如果我们约定了自已与自已同龄,同班,同乡,此时它们就有了自反性,如果仅有一个人和其他人年龄均不同,此时他自已就可构成一组.
小于关系是不对称,它的逆关系大于关系也是不对称,但将两者关系并起来(将关系看成集合),得不等关系却是的对称的,不等关系是小于或大于关系的对称闭包,夫对妻的关系是不对称的,妻对夫的关系也是不对称的,但对称闭包婚姻关系却是对称的(考虑到男女平等,即对称性).大于1的关系是不传递的,大于2的关系也是不传递的,…将大于1,大于2,大于3,…全部并起来得到大于关系却是传递的,大于关系是大于1的关系的传递闭包,父子关系是不传递的,但它的传递闭包是长辈对后辈关系却是传递的.
总而言之,我们经常不自觉的用到了关系闭包的概念,在数学中随着人们的对关系的深入认识,自觉地使用闭包的概念,比如在数学中严格偏序关系的自反闭包是偏序关系,偏序集利用所谓盖住关系的关系图(哈斯图),来描述该偏序集十分简单明了,盖住关系的自反传递闭包就是偏序集上的偏序关系.
