数学竞赛题一道一只虫子沿三角形铁圈爬行,在每个顶点,它都等机会爬向另外两个顶点之一,则它爬行n次后恰好回到起始点的概率为

好熟悉的题……
设n次爬行后到达原来的点的概率为a（n)
可知此时到达另两个顶点的概率为1-a（n)
又知当蚂蚁在另两个点时,会有1/2的概率爬回原来的点
则可得递推公式a（n+1）=1/2（1-a（n）)
移项得
a（n+1）-1/3=1/6-1/2a（n）
即a（n+1）-1/3=-1/2（a（n）-1/3）
则a（n）=(a(1)-1/3)（-1/2）^(n-1)+1/3
又知a(1）=0
即a（n）=1/3-1/3（-1/2）^(n-1).