若A、B是抛物线y²=4x上的不同点,弦AB（不平行y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P的一条“相关弦”
①求点P（4,0）的“相关弦”的中点的横坐标;
②求点P（4,0）的所有“相关弦”的弦长的最大值.
(1)解析：∵抛物线y^2=4x
设AB为点P(x0,0)的任意一条“相关弦”,且A(x1,y1),B(x2,y2),（x1≠x2）
则,y1^2=4x1,y2^2=4x2
∴y1^2- y2^2=4x1-4x2
设直线AB的斜率是k,弦AB的中点是M(xm,ym)
∴k=(y1-y2)/(x1-x2)=4/(y1+y2)=2/ym
则弦AB的垂直平分线方程为y-ym=-2/ym(x-xm)
又∵点P(x0,0)在弦AB的垂直平分线上
∴-ym=-2/ym(x0-xm)==>xm=x0-2
∴点P（4,0）的“相关弦”的中点的横坐标这4-2=2
(2)解析：由（1）可知弦AB方程为y-ym=k(x-xm)
与抛物线联立,代入抛物线得k^2x^2+2[k(ym-kxm)-2]+(ym-kxm)^2=0
则x1x2=(ym-kxm)^2/k^2=(ym-kxm)^2/(2/ym)^2=(ym^2-2xm)^2/4
令点P相关弦AB长为d
|AB|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(1+k^2)(x1-x2)^2=(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]
=4(1+k^2)(xm^2-x1x2)
=4[1+(2/ymk)^2][xm^2-(ym^2-2xm)^2/4]
=[(ym^2+4)/ym^2][4ym^2xm-ym^4]
=(4+ym^2)(4xm-ym^2)=-ym^4+4ym^2(xm-1)-4(xm-1)^2+16xm+4(xm-1)^2
=4(xm+1)^2-[ym-2(xm-1)]^2
=4(x0-1)^2-[ym^2-2(x03)]^2
∵0
