问题描述：
四点共圆超级难度几何题,50分
如图所示,正方形ABCD,角EAF=45度,EG垂直于AC,FH垂直于AC,求证：过H,G,B三点的圆的圆心在BC上.
如图所示,正方形ABCD,角EAF=45度,EG垂直于AC,FH垂直于AC,求证：过H,G,B三点的圆的圆心在BC上.
问题解答：
我来补答
证明：作过BGH的圆,交BC于P点.
连接BH、DH、BG、GP.
∵ AD⊥DF,AH⊥FH,∴A、D、F、H四点共圆.
∠AFH=∠ADH
∵AB=AD,∠BAH=∠DAH,AH公用,∴ΔABH≌ΔADH
∴∠ABH=∠ADH
∴∠ABH=∠AFH
∴∠PBH=90°-∠ABH=90°-∠AFH=∠FAH
∵∠FAH=∠FAE-∠CAE=45°-∠CAE =∠CAB-∠CAE=∠EAB
∴∠PBH=∠EAB
∵ AB⊥BE,AG⊥GE,∴A、B、E、G四点共圆.
∴∠BGE=∠EAB
∴∠PBH=∠BGE
∵B、G、H、P四点共圆,∴∠HGP=∠PBH
∴∠HGP =∠BGE
∴∠BGP=∠BGE+∠EGP=∠HGP+∠EGP=∠EGC=90°
∴圆BGH的圆心在BC上.
连接BH、DH、BG、GP.
∵ AD⊥DF,AH⊥FH,∴A、D、F、H四点共圆.
∠AFH=∠ADH
∵AB=AD,∠BAH=∠DAH,AH公用,∴ΔABH≌ΔADH
∴∠ABH=∠ADH
∴∠ABH=∠AFH
∴∠PBH=90°-∠ABH=90°-∠AFH=∠FAH
∵∠FAH=∠FAE-∠CAE=45°-∠CAE =∠CAB-∠CAE=∠EAB
∴∠PBH=∠EAB
∵ AB⊥BE,AG⊥GE,∴A、B、E、G四点共圆.
∴∠BGE=∠EAB
∴∠PBH=∠BGE
∵B、G、H、P四点共圆,∴∠HGP=∠PBH
∴∠HGP =∠BGE
∴∠BGP=∠BGE+∠EGP=∠HGP+∠EGP=∠EGC=90°
∴圆BGH的圆心在BC上.
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