向量内积的性质有哪些

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向量内积的性质有哪些
1个回答 分类:数学 2014-09-17

问题解答:

我来补答
把向量外积定义为:
a × b = |a|·|b|·Sin.
分配律的几何证明方法很繁琐,大意是用作图的方法验证.有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明.
下面给出代数方法.我们假定已经知道了:
1)外积的反对称性:
a × b = - b × a.
这由外积的定义是显然的.
2)内积(即数积、点积)的分配律:
a·(b + c) = a·b + a·c,
(a + b)·c = a·c + b·c.
这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cos,用投影的方法不难得到证明.
3)混合积的性质:
定义(a×b)·c为矢量a, b, c的混合积,容易证明:
i) (a×b)·c的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积,其正负号由a, b, c的定向决定(右手系为正,左手系为负).
从而就推出:
ii) (a×b)·c = a·(b×c)
所以我们可以记a, b, c的混合积为(a, b, c).
由i)还可以推出:
iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)
我们还有下面的一条显然的结论:
iv) 若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1, a2, a3,则a必为零矢量.
下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律.
设r为空间任意矢量,在r·(a×(b + c))里,交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2),就有
r·(a×(b + c))
= (r×a)·(b + c)
= (r×a)·b + (r×a)·c
= r·(a×b) + r·(a×c)
= r·(a×b + a×c)
移项,再利用数积分配律,得
r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0
这说明矢量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一个矢量.按3)的iv),这个矢量必为零矢量,即
a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0
所以有
a×(b + c) = a×b + a×c.
证毕.
参考资料:《空间解析几何引论》(第二版),南开大学《空间解析几何引论》编写组
 
 
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