已知函数f（x）=ax+1x+2．

（1）当a=1时，f(x)＝
x+1
x+2，函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增．
下面证明：
设-2＜x₁＜x₂，
则f(x1)−f(x2)＝
x1+1
x1+2−
x2+1
x2+2=
x1−x2
(x1+2)(x2+2)
∵-2＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁+2＞0，x₂+2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
所以函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增．
（2）设-2＜x₁＜x₂，
因为函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增，
所以有f(x1)−f(x2)＝
ax1+1
x1+2−
ax2+1
x2+2=
(2a−1)(x1−x2)
(x1+2)(x2+2)＜0，
∵-2＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁+2＞0，x₂+2＞0，
所以2a−1＞0，即a＞
1
2，
所以实数a的取值范围是(
1
2，+∞)．