求极限的问题：lim(n→∞) {[a^(1/n)+b^(1/n)/2} 其中a,b大于0

lim(n→∞) {[a^(1/n)+b^(1/n)]/2} ^n
=lim(n→∞){1+[a^(1/n)+b^(1/n)-2]/2}^n
=lim(n→∞){1+[a^(1/n)+b^(1/n)-2]/2}^{2/[a^(1/n)+b^(1/n)-2]*[a^(1/n)+b^(1/n)-2]/(2/n)}
=e^lim(n→∞)[a^(1/n)+b^(1/n)-2]/(2/n)
=e^lim(x→0)[a^x+b^x-2]/(2x)
而lim(x→0)[a^x+b^x-2]/(2x)
=lim(x→0)[a^x*lna+b^x*lnb]/2(罗必塔法则)
=(lna+lnb)/2
原式=e^[(lna+lnb)/2]
=e^(lna/2)*e^(lnb/2)
=a^(1/2)*b^(1/2)
=(ab)^(1/2)