实数域上的2n阶矩阵A,B可交换,那么它们有公共特征向量吗?为什么?

设任取的x为A的特征值a对应的特征向量.
Ax=ax
ABx=BAx=aBx
故Bx也是A的特征值a对应的特征向量.
也就是说明,A的特征值a对应的不变子空间也是B的一个不变子空间,故他们有相同的特征向量.
再问： 但能保证对实数域的封闭性吗？
再答： 不知你指的封闭是什么，但这两个不变子空间均是R^n的不变子空间。