高中数学竞赛数列问题在平面上,一条抛物线把平面分成两部分,两条抛物线至多把平面分成两部分,两条抛物线至多把平面分成七个部

一条抛物线将平面至多分为2部分,两条抛物线将平面至多分为7部分,
设第n条抛物线将平面至多分为An部分,则第n+1条抛物线的情况如下：
增加的这条抛物线,与原来的n条抛物线至多有4n个交点（由于抛物线是曲线,所以每两条抛物线至多有4个交点,与直线至多一个交点不同）,这4n个交点将第n+1条抛物线分为4n+1个曲线段,这4n+1个曲线段将每个所处的区域一分为二,即比原来增加了4n+1个区域.
所以可得An+1=An + 4n+1,即数列{An}的递推公式
利用叠加法可得,An= 2×n^2-n+1
(其中,n^2意义为n的平方)
检验可知,这是正确答案