已知函数f（x）=x2+2x．

（Ⅰ）∵f（x）=x²+2x，
∴f′（x）=2x+2，
∴a_n+1=f′（a_n）=2a_n+2，
∴
an+1+2
an+2=2，又a₁+2=3，
∴数列{a_n+2}是以3为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n+2=3×2^n-1，
∴a_n=3×2^n-1-2；
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n
=3（1+2+2²+…+2^n-1）-2n
=3×
1−2n
1−2-2n
=3×2ⁿ-2n-3．
（Ⅱ）∵b_n+1=f（b_n）=bn2+2b_n，
∴b_n+1+1=(bn+1)2，
两边取对数：lg（b_n+1+1）=2lg（b_n+1），
∴
lg(bn+1+1)
lg(bn+1)=2
∴数列{lg（b_n+1）}是公比为2的等比数列，
又lg（b₁+1）=lg（t+1），
∴lg（b_n+1）=lg（t+1）•2^n-1=lg(t+1)2n−1，
∴b_n+1=(t+1)2n−1，
∴b_n=(t+1)2n−1-1．