已知函数f(x)=log4(4 ^x+1)+kx(k∈R)是偶函数

由f（x）=f（-x）得到：f（-1）=f（1）⇒log4（4-1+1）-k=log4（4+1）+k∴ k=-1/2
即f(x)=log4(4 ^x+1)-1/2x
函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点
即方程 log4(4^x+1)-1/2x=log4(a•2^x-4/3a)有且只有一个实根
化简得：方程 2^x+1/2^x=a•2^x-4/3a有且只有一个实根
令t=2^x＞0,则方程 (a-1)t^2-4/3at-1=0有且只有一个正根
① a=1⇒t=-3/4,不合题意
② △=0⇒a=3/4或-3
若 a=3/4⇒t=-1/2,不合题意
若 a=-3⇒t=1/2
③若一个正根和一个负根,则 -1/(a-1)＜0,即a＞1时,满足题意
所以实数a的取值范围为{a|a＞1或a=-3}
解题关键是函数的性质和图像的掌握,及分类讨论思想的应用!