已知函数f(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|(a∈R,且a≠-2)

问题描述:

已知函数f(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|(a∈R,且a≠-2)
(I)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和,求g(x)和h(x)的解析式;
(II)命题P:函数f(x)在区间[(a+1)2,+∞)上是增函数;命题Q:函数g(x)是减函数.如果命题P、Q有且仅有一个是真命题,求a的取值范围;
(III)在(II)的条件下,比较f(2)与3-lg2的大小.
1个回答 分类:数学 2014-12-02

问题解答:

我来补答
(I)∵f(x)=g(x)+h(x),g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x)
∴f(-x)=-g(x)+h(x)


g(x)+h(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|
-g(x)+h(x)=x2-(a+1)x+lg|a+2|
解得g(x)=(a+1)x,h(x)=x2+lg|a+2|;
(II)∵函数f(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|=(x+
a+1
2)2-
(a+1)2
4+lg|a+2|在区间[(a+1)2,+∞)上是增函数,
∴(a+1)2≥-
a+1
2,解得a≥-1或a≤-
3
2且a≠-2
又由函数g(x)=(a+1)x是减函数,得a+1<0,∴a<-1且a≠-2
∴命题P为真的条件是:a≥-1或a≤-
3
2且a≠-2,命题Q为真的条件是:a<-1且a≠-2.
又∵命题P、Q有且仅有一个是真命题,
∴a>-
3
2
(III)由(I)得f(2)=2a+lg|a+2|+6
∵a>-
3
2,∴f(2)=2a+lg(a+2)+6
设函数v(a)=2a+lg(a+2)+6,v′(a)=2+
1
(a+2)ln10>0.
∴函数v(a)在区间[-
3
2,+∞)上为增函数.
又∵v(-
3
2)=3-lg2,∴当a>-
3
2时,v(a)>v(-
3
2),即f(2)>3-lg2.
 
 
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