（I）当p=2时，函数f(x)=2x-
2
x-2lnx，f（1）=2-2-2ln1=0.f′(x)=2+
2
x2-
2
x，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2-2=2．
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1）
即y=2x-2．
（II）f′(x)=p+
p
x2-
2
x=
px2-2x+p
x2．
令h（x）=px2-2x+p，
要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．
由题意p＞0，h（x）=px2-2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为x=
1
p∈(0，+∞)，
∴h(x)min=p-
1
p，只需p-
1
p≥0，
即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．
（III）∵g(x)=
2e
x在[1，e]上是减函数，
∴x=e时，g（x）min=2；x=1时，g（x）max=2e，
即g（x）∈[2，2e]，
当p＜0时，h（x）=px2-2x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴x=
1
p在y轴的左侧，且h（0）＜0，
所以f（x）在x∈[1，e]内是减函数．
当p=0时，h（x）=-2x，因为x∈[1，e]，所以h（x）＜0，
f′(x)=-
2x
x2＜0，此时，f（x）在x∈[1，e]内是减函数．
∴当p≤0时，f（x）在[1，e]上单调递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意；
当0＜p＜1时，由x∈[1，e]⇒x-
1
x≥0，所以f(x)=p(x-
1
x)-2lnx≤x-
1
x-2lnx．
又由（2）知当p=1时，f（x）在[1，e]上是增函数，
∴x-
1
x-2lnx≤e-
1
e-2lne=e-
1
e-2＜2，不合题意；
当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，
故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，而f(x)max=f(e)=p(e-
1
e)-2lne，g（x）min=2，即p(e-
1
e)-2lne＞2，解得p＞
4e
e2-1
综上所述，实数p的取值范围是(
4e
e2-1，+∞)．
