这个问题反过来说比较顺,即:若f(x)在(a,b)上可导,则f'(x)没有第一类间断点.
原因是若lim{x → c-} f'(x)存在,由L'Hospital法则可知其等于f(x)在c的左导数.
而若lim{x → c+} f'(x)存在,其等于f(x)在c的右导数.
又由f(x)在c处可导,可得f'(c-) = f'(c) = f'(c+),即f'(x)在c连续.
因此f'(x)没有第一类间断点.
类似的分析可以说明,f'(x)没有无穷型间断点.
因为由x → c-时f'(x) → +∞,可得f(x)在c的左导数不存在,对-∞同样.
另外由Darboux定理,若x → c-时f'(x) → ∞,则有f'(x) → +∞或f'(x) → -∞,不会两边振荡.
另一方面,f'(x)可以有第二类间断点.
经典的例子是f(x) = x²sin(1/x),补充定义f(0) = 0.
在x ≠ 0处,f'(x) = 2x·sin(1/x)-cos(1/x),x → 0时在[-1,1]振荡.
此外,f'(x)还可以无界,例如:f(x) = x^(4/3)·sin(1/x),补充定义f(0) = 0.
在x ≠ 0处,f'(x) = (4/3)·x^(1/3)·sin(1/x)-x^(-2/3)·cos(1/x),x → 0时在(-∞,+∞)振荡.
注:在(-∞,+∞)振荡还会取得中间值,因此并非f'(x) → ∞的无穷型间断点.
