设函数f(x)在区间[0,1]上连续,证明至少存在一点ξ属于(0,1)使得 f(ξ)(1-ξ)=∫(0~ξ)f(x)dx

这个题用积分中值定理比较困难,不妨换个角度用微分中值定理.
如果设F(x) = ∫ f(t)dt,则所证式可变为(1-ξ)F'(ξ) = F(ξ),是一道比较常见的微分中值定理的题目.
由此观察,我们给出证明如下.
设g(x) = (x-1)*∫ f(t)dt,则g(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,并有g(0) = g(1) = 0.
由罗尔中值定理,存在ξ∈(0,1),使g'(ξ) = 0.
即有(ξ-1)f(ξ)+∫ f(t)dt = 0,于是(1-ξ)f(ξ) = ∫ f(t)dt得证.