设函数f(x)在x=0处可导且 limx→0{[f(x)+1]/[x+sinx]}=2 则f(x)导数在x=0的值是?

由于分母极限为0,则分子极限必为0,因此lim(x--->0) [f(x)+1]=0,则lim(x--->0) f(x)=-1.
由f(x)在x=0可导,则f(x)在x=1连续,因此函数值与极限值相等 f(0)=-1
lim [x--->0] [f(x)+1]/(x+sinx)
=lim [x--->0] [f(x)-f(0)]/(x+sinx)
=lim [x--->0] [(f(x)-f(0))/x]*[x/(x+sinx)]
=lim [x--->0] [(f(x)-f(0))/x] * lim [x--->0] [x/(x+sinx)]
前一项为导数定义,后一项用洛必达法则
=f '(0)*(1/2)
=2
因此 f '(0)=4
再问： "由于分母极限为0，则分子极限必为0" 为何？ 若"由于分母极限为0，则分子极限必为0" ，此题直接用洛必达法则不行吗？
再答： 1、因为最终极限为2，而分母极限为0，此时只能分子极限为0，0/0型才有可能最终为2； 2、不能用洛必达法则，原因是f(x)除了在x=0这一点之外，其它点处是否可导是不知道的，如果用洛必达法则必然会出现f '(x)，而f '(x)题目中并未说明是否存在。