设函数f(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内具有二阶连续导数,证：存在ξ∈（a,b）使(如图)

这是中值定理的应用的题目.可考虑分别对
f(b)-f[(a+b)/2],f[(a+b)/2]-f(a)
用Lagrange中值定理,再用一次Lagrange中值定理,即可得.
再问： 假设f'(ξ1)=f(b)-f[(a+b)/2][(b-a)/2],f'(ξ2)=f[(a+b)/2]-f(a)][(b-a)/2]，然后用拉格朗日，得f(b)-2[f(a+b)/2]+f(a)=1/2f''(ξ)(ξ1-ξ2)(b-a) 怎么证明ξ=(ξ1-ξ2)/2?
再答： 　　上面的想法有问题，换一个： 　　构造函数 F(x)=f[x+(b-a)/2]-f(x)， 在区间[a, (a+b)/2]上用Lagrange 中值定理，得 F[(a+b)/2]-F(a) = F'(η)((a+b)/2-a)，η ∈ (a, (a+b)/2) 　　 = {f'[η+(b-a)/2] - f'(η)}[(b-a)/2]， 再在[η, η+(b-a)/2]上用Lagrange 中值定理，得 　　{f'[η+(b-a)/2] - f'(η)} = f''(ξ)[(b-a)/2]，ξ ∈ (η, η+(b-a)/2)含于(a, (a+b)/2)， 而 　　 F[(a+b)/2]-F(a)=f(b)-2f[(a+b)/2]+f(a)， 所以得证。