设a，b，c是三个互不相等的正整数，求证：在a3b-ab3，b3c-bc3，c3a-ca3这三个数中，至少有一个数能被1

问题描述：

设a，b，c是三个互不相等的正整数，求证：在a3b-ab3，b3c-bc3，c3a-ca3这三个数中，至少有一个数能被10整除．
3个回答 分类：数学 2014-09-24

问题解答：

我来补答
a3b−ab3＝ab(a2−b2)(1)
b3c−bc3＝bc(b2−c2)(2)
c3a−ca3＝ca(c2−a2)(3)
∴在a，b，c中有偶数或都是奇数时，
a3b-ab3，b3c-bc3，c3a-ca3三数总和整除2，
又∵在a，b，c三数，若有一个数是5的倍数，则得证命题．
设a，b，c都不能被5整除，则a2，b2，c2的个位数只能是1，4，6，9．
从而a2-b2，b2-c2，c2-a2的个位数字只能是从1，4，6，9中取3个，两两相差的差．
∵这些差中必有0或±5，
∴所以题中三式表示的数至少有一个能被5整除．
∵[2，5]=10，（2，5）=1，
∴a3b-ab3，ac3-a3c，b3c-bc3，至少有一个能被10整除．
 
 
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补充回答：

那么个位数都是1或4或6或9呢？怎么求，这答案有点问题吧
网友(121.77.31.*) 2018-12-28

1的平方个位数为1，2的平方为个位数4……7的平方个位数为9
网友(58.59.69.*) 2022-06-22

剩余:2000字
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