数学中的
e
e
≈
2.71828
18284
59045
23536
02874
71352
66249
77572
47093
69995
95749
66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274
现在人们可以将它精确到小数点后
2000
位,
这里的
e
是一个数的代表符号,
而我们要说的,
便是
e
的故事.这倒叫人有点好奇了,
要能
说成一本书,
这个数应该大有来头才是,
至少应该很有名吧?但是搜索枯肠,
大部分人能想
到的重要数字,
除了众人皆知的
0
及
1
外,
大概就只有和圆有关的
π
了,
了不起再加上虚数
单位的
i=
√
-1
.这个
e
究竟是何方神圣呢?
在高等数学里,大家都学到过对数（
logarithm
[
ˈ
l
ɔ
:g
əˌ
r
ɪ
ð
ə
m
]
）的观念,也用过对数表.教科书
里的对数表,是以
10
为底的,叫做常用对数（
common logarithm
）
.课本里还提到,有一种
以无理数
e=2.71828
……为底数的对数,称为自然对数（
natural
logarithm
）
,有一个著名的
极限数列或函数
f(n)=(1+1/n)^n
当
n→∞
时
=e
的结果就是
e
,这里的
e
,正是我们故事的主
角.不知这样子说,是否引起你更大的疑惑呢?在十进位制系统里,用这样奇怪的数为底,
难道会比以
10
为底更「自然」吗?更令人好奇的是,长得这麼奇怪的数,会有什麼故事可
说呢?
这就要从古早时候说起了.
至少在微积分发明之前半个世纪,
就有人提到这个数,
所以虽然
它在微积分里常常出现,却不是随著微积分诞生的.那麼是在怎样的状况下导致它出现的
呢?一个很可能的解释是,这个数和计算利息有关.
我们都知道复利计息是怎麼回事,就是利息也可以并进本金再生利息.但是本利和的多寡,
要看计息周期而定,
以一年来说,可以一年只计息一次,
也可以每半年计息一次,
或者一季
一次,一月一次,甚至一天一次；当然计息周期愈短,本利和就会愈高.有人因此而好奇,
如果计息周期无限制地缩短,比如说每分钟计息一次,甚至每秒,
或者每一瞬间（理论上来
说）
,会发生什麼状况?
本利和会无限制地加大吗?答案是不会,
它的值会稳定下来,
趋近於一极限值,
而
e
这个数
就现身在该极限值当中（当然那时候还没给这个数取名字叫
e
）
.所以用现在的数学语言来
说,
e
可以定义成一个极限值,但是在那时候,根本还没有极限的观念,因此
e
的值应该是
观察出来的,而不是用严谨的证明得到的.
包罗万象的
e
大家恐怕已经在想,
光是计算利息,
应该不至於能专门为一个奇怪的数值起个名字吧?当然
不,利息只是极小的一部分.令人惊讶的是,
这个与计算复利关系密切的数,居然和数学领
域不同分支中的许多问题都有关联.
在讨论
e
的源起时,
除了复利计算以外,
事实上还有许
多其他的可能.
问题虽然都不一样,
答案却都殊途同归地指向
e
这个数.
比如其中一个有名
的问题,就是求双曲线
y=1
/x
底下的面积.双曲线和计算复利会有什麼关系,不管横看、竖
看、坐著想、
躺著想,
都想不出一个所以然对不对?可是这个面积算出来,却和
e
有很密切
的关联.
e
是一个奇妙有趣的无理数,
它取瑞士数学家欧拉
Euler
的英文字头.
欧拉首先发现此数并
称之为自然数.它还有个较鲜见的名字叫纳皮尔
Napier
常数,假如你曾在数学课上被对数
苦恼过,
一定想知道谁是
「始作俑者」吧?没错,就是这位苏格兰数学家约翰
·
纳皮尔
（
John
Napier
）先生引进了对数.另外,他还发明了第一个对数表.大家也许没有听说过?这很正
常,
我也是上网搜索
e
的资料的时候才认识他的.
重要的是要下一个问题.
你知道纳皮尔花
了多少时间来建构整个对数表吗?请注意这是发生在十六世纪末、
十七世纪初的事情,
别说
电脑和计算机了,
根本是什麼计算工具也没有,
所有的计算,
只能利用纸笔一项一项慢慢地
算,
而又还不能利用对数来化乘除为加减,
好简化计算.
因此纳皮尔整整花了二十年的时间
建立他的对数表,
简直是匪夷所思吧!
试著想像一下二十年之间,
每天都在重复做同类型的
繁琐计算,
这种乏味的日子绝不是一般人能忍受的.
但纳皮尔熬过来了,
而他的辛苦也得到
了报偿
--
对数（尤其是以
e
为底的自然对数
ln
）受到了热切的欢迎,许多欧洲甚至中国的科
学家都迅速采用,
连纳皮尔也得到了来自世界各地的赞誉.
最早使用对数的人当中,
包括了
大名鼎鼎的天文学家刻卜勒（
Kepler
）
,他利用对数,简化了行星轨道的繁复计算.
e
的「影响力」其实还不限於数学领域.大自然中太阳花的种子排列、鹦鹉螺壳上的花纹都
呈现螺线的形状,而螺线的方程式,是要用
e
来定义的（
r=e
α
θ
）
.建构音阶也要用到
e
,而
如果把一条链子两端固定,松松垂下,它呈现的形状若用数学式子表示的话,也需要用到
e
（
y=ach
（
x/a
）悬链线）
.这些与计算利率或者双曲线面积八竿子打不著的问题,居然统统
和
e
有关,多么奇妙的
e
啊?
其实我们每个人的成长过程中都学到过不少数学知识,
但是在很多人心目中,
数学似乎是门
无趣甚至可怕的科目.
尤其到了大学的微积分,
到处都是定义、
定理、
公式,
令人望之生畏.
我们会害怕一个学科的原因之一,
是有距离感,
那些微积分里的东西,
好像不知是从哪儿冒
出来的,
对它毫无感觉,
也觉得和我毫无关系.
如果我们知道这些东西
（比如说这个常数
e
）
是怎麼演变、由谁发明的,而发明之时还发生了些什麼事,发明者又是什麼样的人等等,这
种距离感就应该会减少甚至消失,数学就不再是如此可怕了.
