问题描述：
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AH⊥BC于H,D是AC边上任意一点,DE⊥AH交AB于E,EF⊥BD交BH于F,BD交AH于G.
1.求证：BF=2GH
2.如图,设EF交BD于K,连结AK、CK,若AK=sqrt(2)BK,CK=sqrt(10),求CF的长.
1.求证：BF=2GH
2.如图,设EF交BD于K,连结AK、CK,若AK=sqrt(2)BK,CK=sqrt(10),求CF的长.
问题解答：
我来补答
目的GH是中位线,与BF等长为底的三角形内.
作CM⊥BC,交BD的延长线与点M
1）证明△BEF≌△CDM
四边形AEKD,∠AEK+ADK(=对顶角MDC）=180°,∠BEF+∠AEK=180°（一条直线上）,
∴∠BEF=∠MDC,∠EBF=∠DCM=45°
△ABC为等腰直角三角形,ED⊥AH,AH⊥BC,ED∥BC,∴BE=DC
△BEF≌△CDM BF=CM,BH=HC,GH∥CM（AH⊥BC,CM⊥BC）
∴BF=CM=2GH
再问： 第二小问呢？
再答：
2.作CM⊥DP于点M,AN⊥BD于点N∵∠BKD=∠EAD=90°∴点A`E`K`D四点共圆（同斜边的直角三角形的各顶点共圆）∴∠AKD=∠AED=45°（同弧所对的圆周角相等）∴AK=√2xAN=√2xNK（等腰直角三角形斜边直角边比求值）∵√2xBK AK=√2xAN=√2NK∴BK=AN=NK∵△BEF≌CDP CM⊥DP BK⊥BF∴CM=BK（全等三角形对应高相等）∴AN=CM∵AN=CM AN⊥ND CM⊥MD ∠ADN=∠CDM∴△AND≌△CMD(两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）∴AD=CD ND=MD∵BN=BK+KN BK=NK AN=BK AN⊥BN∴AB=√5xBK(直角三角形勾股定理求值）∴CD=(1/2)AB=(√5/2)xBK∵CM=BK CD=(√5/2)BK CM⊥DP∴DM=1/2xBK(直角三角形勾股定理求值）∵KM=KN+DN+DM DN=DM=1/2xBK KN=CM=BK CK=√10∴（（2BK））²+BK²=10∴BK=√2∵AB=√5BK BK=√2∴BC=√2xAB=2x√5∵KF∥CM∴BF/BC=BK/BM(平行于三角形一边的直线截其它两边对应成比例）∵BM=KM+BK KM=KN+DN+DM=2xBK∴BF/BC=BK/BM=1/3∴BF=1/3xBC∵BF+CF=BC BC=2x√5∴CF=2/3xBC=4/3x√5
作CM⊥BC,交BD的延长线与点M
1）证明△BEF≌△CDM
四边形AEKD,∠AEK+ADK(=对顶角MDC）=180°,∠BEF+∠AEK=180°（一条直线上）,
∴∠BEF=∠MDC,∠EBF=∠DCM=45°
△ABC为等腰直角三角形,ED⊥AH,AH⊥BC,ED∥BC,∴BE=DC
△BEF≌△CDM BF=CM,BH=HC,GH∥CM（AH⊥BC,CM⊥BC）
∴BF=CM=2GH
再问： 第二小问呢？
再答：
2.作CM⊥DP于点M,AN⊥BD于点N∵∠BKD=∠EAD=90°∴点A`E`K`D四点共圆（同斜边的直角三角形的各顶点共圆）∴∠AKD=∠AED=45°（同弧所对的圆周角相等）∴AK=√2xAN=√2xNK（等腰直角三角形斜边直角边比求值）∵√2xBK AK=√2xAN=√2NK∴BK=AN=NK∵△BEF≌CDP CM⊥DP BK⊥BF∴CM=BK（全等三角形对应高相等）∴AN=CM∵AN=CM AN⊥ND CM⊥MD ∠ADN=∠CDM∴△AND≌△CMD(两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）∴AD=CD ND=MD∵BN=BK+KN BK=NK AN=BK AN⊥BN∴AB=√5xBK(直角三角形勾股定理求值）∴CD=(1/2)AB=(√5/2)xBK∵CM=BK CD=(√5/2)BK CM⊥DP∴DM=1/2xBK(直角三角形勾股定理求值）∵KM=KN+DN+DM DN=DM=1/2xBK KN=CM=BK CK=√10∴（（2BK））²+BK²=10∴BK=√2∵AB=√5BK BK=√2∴BC=√2xAB=2x√5∵KF∥CM∴BF/BC=BK/BM(平行于三角形一边的直线截其它两边对应成比例）∵BM=KM+BK KM=KN+DN+DM=2xBK∴BF/BC=BK/BM=1/3∴BF=1/3xBC∵BF+CF=BC BC=2x√5∴CF=2/3xBC=4/3x√5展开全文阅读