怎样求值域

解题思路： 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
解题过程：
求函数值域的方法归类
在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
1. 观察法
　　对于一些简单的函数，可在定义域及函数对应关系基础上确定函数的值域，这叫观察法。
　　由于函数值域是对应于函数定义域的函数值集合，因此首先要考察函数结构。在此基础上，从定义域出发，逐步推断出函数的值域。
　　例1：求函数y=（x-3）的值域。
　　解：∵函数定义域为-1≤x＜1，又∵≥0，x-3＜0，∴y≤0，即函数值域y∈（-∞，0］。
　　2.反函数法
　　如果函数在定义域内存在反函数，而求函数值域又不易求解时，可在通过求反函数的定义域的过程中而使问题获解，叫反函数求函数值域的方法。
　　即由y=f（x），反解出求函数x=f（x），原函数值域包含在f（y）的定义域中。然后分析二者的关系以确定函数值域。此法的成功取决于反解成立，分析正确，并注意在反解过程中保持同解性。
　　例2：求函数y=+，x∈（0，1］的值域。
　　错解一：∵y=+≥2，∴函数值域y∈［2，+∞）。
　　剖析：当x=（0，+∞］时，结论x=［2，+∞）才是正确的。但当x∈（0，1），这个结论就不可靠了。
　　错解二：y=+?圳x-2yx+4=0，
　　∵x∈R，∴△4y-16≥0，解得y≤-2或y≥2。
　　函数值域为（-∞，-2］∪［2，+∞）。
　　剖析：以上求出的结果，只能是x∈（-∞，0）∪（0，+∞）时函数的值域，解法二同样忽略了0≤x≤1了这一限制条件，而x∈（0，1］的值域用“判别式法”是无法解决的。
　　正解：（反函数法）y=+?圳x-2yx+4=0，
　　∵x∈（0，1］，y≥2，∴y+≥2（1），∴方程（1）的根只能是x=y-，由0＜y-≤1，解得y≥，∴函数值域为［，+∞）。
　　3.转化法
　　利用已知值域的函数或所给函数的定义域，作为“媒介”，将待求值域的函数式变形。通过适当的运算，求得所给函数的值域。将所求函数值域问题转化为熟知的基本初等函数的值域问题，常能化难为易。
　　例3：求函数y=的值域。
　　解：由函数表达式得：2sinx+ycosx=3-y?圳sin（x+θ）=3-y，其中θ由sinθ和cosθ=确定。
　　∵|sin（x+θ）|≤1，∴（）≥（3-y）?圳y≥，即原函数值域y∈［，+∞）。
　　4.不等式法
　　运用不等式的性质，特别是含等量的不等式，分析等号成立的条件，以确定函数值域，叫不等式求函数值域的方法。
　　例4：已知α∈（0，π），求函数y=sinα+的值域。
　　错解：∵α∈（0，π），∴sinα＞0，＞0，sinα+≥2=2，函数值域为［2，+∞）。
　　剖析：由于忽略了“当且仅当sinα+时上式才能取等号”，但因|sinα|≤1故sinα≠，因此上式不能取等号，至少应有y≠2。
　　正解：∵α∈（0，π），∴sinα＞0，＞0，sinα+=sinα++≥3≥3。
　　当且仅当sinα=，即sinα=1时，上式能全取等号。
　　小结：用“不等式法”求函数值域，主要是利用“几个正数的算术平均值不小于其几何平均值”，但须注意取等号时条件是否能得到满足。
　　5.最值法
　　由于初等函数在其定义域内是连续的，所以我们可以通过求函数在定义区间内的最大值，最小值的办法，并求函数的值域。
　　例5：求函数y=的值域。
　　解：由函数定义域知，cosx∈［-1，-）∪（-，1］。
　　（1）当cosx∈［-1，-）时，∵y=x+=1-（-1），∴（）=-1，注意到cosx?邛（-），y?邛-∞∴-∞＜y≤-1。
　　（2）当cosx∈（-，1］时，∵（1+2cosx））=-1，∴（）=，注意到cosx?邛（-），y?邛+∞，∴≤y＜+∞。
　　故函数值域为（-∞，-1］∪［，+∞）.
　　一般二次函数的值域常用此法求解。有些高次整函数也可用此法。
　　6.判别式
　　根据一元二次方程ax+by+c=0有实根时，△=b-4ac≥0。的性质，求函数值域的方法叫做判别式法。
　　例6：求函数y=2x-7x+3的值域。
　　解：∵2x-7x+3-y=0，且x∈R，∴△=b-4ac=49-8（3-y）≥0，y≥，∴该函数值域为［，+∞）.
　　此法可用于行如：y=（A，P不同时为零，分子分母无公因式）的函数的值域。但必须强调：（1）是既约公式；（2）验证端点值是否能取到；（3）整理成行如一元二次方程的形式后，若平方项系数含字母要讨论；（4）若定义域人为受限，则判别式法失效。
　　7.换元法
　　通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数求函数值域的方法叫换元法。
　　例7：已知函数f（x）的值域是［，］，求y=f（x）+的值域。
　　解：∵f（x）∈［，］，∴≤f（x）≤，故≤≤。令t=，则t∈［，］。有f（x）=（1-t），y=g（t）=（1-t）+t=-（t-1）+1，由于g（t）在t∈［，］时单调递增
　　∴当t=，y=，当t=，y=，
　　∴y=f（x）+的值域是［，］.
　　8.图像法（数行结合法）
　　通过分析函数式的结构、定义域、单调性、奇偶性、极值等。确定若干有代表性的点，勾画出函数的大致图形，从而确定函数的值域。
　　例8：求函数y=|x-1|+x的值域。
　　解：原函数可以表达成：当x≤-1或x≥1，y=|x-1|+x=（x+2）-；当-1≤x≤1，y=|x-1|+x=-（x+）+。
　　作出函数图像（见图1）
　　由图像知函数值域为［-1，+∞）。
　　9.单调性法
　　利用函数单调性，先求出函数的单调区间，再求每个区间上函数的值域，最后取其并集即得函数值域。
　　例9：求y=x-的值域。
　　解：∵y=x和y=-均为单调增函数，
　　∴y=y+y=x-为增函数，由定义域x≤知y=，故y≤.
　　10.配方法
　　如果给定一个复合函数，y=f［g（x）］，若g（x）或f（x）可以视为一元二次多项式，则要用配方法求其函数值域。
　　例10：求y=x+的值域。
　　解：∵y=x+=1-（-1），在定义域x≤内，显然有（-1）≥0，∴y≤1，函数值域为（-∞，1］。
十一．利用多项式的除法
　　例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
　　点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
　　解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。
　　∵1/(x+1)≠0，故y≠3。
　　∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
　　点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
　　练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）
　　本文仅从求函数值域的十种常用方法谈起，在不同的文献中可能会有与本文有出入的其它不同的方法，但解法大致相同，如构造法、极限法、解析法、复数换元法、三角代换法、恒等变换法、有理化法等。当然，本论文求函数值域的方法不是一成不变的，应在多次解题过程中综合并灵活应用这几种方法。
http://www.qikan120.com/qydtInfo.asp?Articleid=42080
2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数的值域。
解：将函数配方得：
∵
由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，
故函数的值域是：[4，8]
3. 判别式法
例4. 求函数的值域。
解：原函数化为关于x的一元二次方程

（1）当时，

解得：
（2）当y=1时，，而
故函数的值域为
例5. 求函数的值域。
解：两边平方整理得：（1）
∵
∴
解得：
但此时的函数的定义域由，得
由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵

代入方程（1）
解得：
即当时，
原函数的值域为：
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6. 求函数值域。
解：由原函数式可得：
则其反函数为：，其定义域为：
故所求函数的值域为：
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数的值域。
解：由原函数式可得：
∵
∴
解得：
故所求函数的值域为
例8. 求函数的值域。
解：由原函数式可得：，可化为：

即
∵
∴
即
解得：
故函数的值域为
6. 函数单调性法
例9. 求函数的值域。
解：令
则在[2，10]上都是增函数
所以在[2，10]上是增函数
当x=2时，
当x=10时，
故所求函数的值域为：
例10. 求函数的值域。
解：原函数可化为：
令，显然在上为无上界的增函数
所以，在上也为无上界的增函数
所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值
显然，故原函数的值域为
7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11. 求函数的值域。
解：令，
则
∵
又，由二次函数的性质可知
当时，
当时，
故函数的值域为
例12. 求函数的值域。
解：因
即
故可令
∴

∵

故所求函数的值域为
例13. 求函数的值域。
解：原函数可变形为：
可令，则有

当时，
当时，
而此时有意义。
故所求函数的值域为
例14. 求函数，的值域。
解：

令，则

由
且
可得：
∴当时，，当时，
故所求函数的值域为。
例15. 求函数的值域。
解：由，可得
故可令

∵

当时，
当时，
故所求函数的值域为：
8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例16. 求函数的值域。

解：原函数可化简得：
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。
由上图可知，当点P在线段AB上时，
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
故所求函数的值域为：
例17. 求函数的值域。
解：原函数可变形为：

上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，
由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，
故所求函数的值域为

例18. 求函数的值域。
解：将函数变形为：
上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。
即：
由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有
即：
（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有
综上所述，可知函数的值域为：

注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。
如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），，在x轴的同侧。
9. 不等式法
利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例19. 求函数的值域。
解：原函数变形为：

当且仅当
即当时，等号成立
故原函数的值域为：
例20. 求函数的值域。
解：


当且仅当，即当时，等号成立。
由可得：
故原函数的值域为：
10. 一一映射法
原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。
例21. 求函数的值域。
解：∵定义域为
由得
故或
解得
故函数的值域为
11. 多种方法综合运用
例22. 求函数的值域。
解：令，则
（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以
（2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：
注：先换元，后用不等式法
例23. 求函数的值域。
解：

令，则



∴当时，
当时，
此时都存在，故函数的值域为
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
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