一道与相似有关的数学题

问题描述：

一道与相似有关的数学题
已知,如图,在等边△ABC中,点D、E分别在BC、AC上,BD=CE,AD与BE交与点F,AB=12,BD=4.求S△BDF：S△BEC.
∵△ABC为等边三角形，AB=12，BD=4
    ∴AB=BC=AC=12，∠A=∠B=∠C=60度
    又BD=CE=4
    ∴△ABD全等于△BCE
       ∴∠BAD=∠CBE
       又∠AFE为△ABF的外角，∠ABC=∠ABE+∠CBE
      ∴∠BAF+∠ABF=60度
    即∠AFE=60度
    ∵∠AFE=∠BFD
       ∴∠BFD=60度
    ∴∠C=∠BFD=60度
    ∵∠FBD=∠CBE
       ∴△BFD相似于△BCE
       ∴BF：BC=BD：BE=DF：EC
       ∴BD：BE=4：13=1：3
       我只解到这一步，

1个回答分类：数学 2014-11-18

问题解答：

我来补答

本题用到一个重要概念：当两个三角形的高相等时,它们面积的比等于它们底边的比.
先证明 △ABD ≌ △BCE
在 △ABD 和 △BCE 中,
AB = BC = 12
∠ABD = ∠BCE = 60°
BD = CE = 4
∴△ABD ≌ △BCE （SAS）
∴ S △ABD = S △BCE ---------------------------------------------- ①
下面求△BDF 与 △ABD 的面积关系.
过A 作AG ‖ BC 交 BE 的延长线于点G.
∵ BC ‖ AG
∴ BC ：AG = CE ：EA = 4 ：8 = 1 ：2
而 BD = （1/3）BC
∴ BD ：AG = 1 ：6
∵ BD ‖ AG
∴ DF ：FA = BD ：AG = 1 ：6
∴ DF ：DA = 1 ：7
∴ S △BDF ：S △ABD = 1 ：7 ---------------------------------------- ②
由 ① ② 知,S △BDF ：S △BCE = 1 ：7

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