1.
一物体由静止开始做直线运动,现已加速度a1做匀加速直线运动,接着又以大小为a2的加速度做匀减速直线运动直到停止.已知通过全程所经历的时间为t,求该物体的总位移.
加速段时间设为t1,末速V=a1t1,平均速度V'=(初速0+末速V)/2=V/2
减速段时间设为t2,初速为V=a1t1,末速为0,平均速度=(V+0)/2=V/2=V'
因两段平均速度都为V'=V/2,故全程平均速度也为V'=V/2
因减速段末为0
故0=V-a2t2=a1t1-a2t2
t2/t1=a1/a2
和比,(t1+t2)/t1=(a1+a2)/a2
而 t1+t2=t
故 t/t1=(a1+a2)/a2
t1=[a2/(a1+a2)]t
平均速度V'=V/2=a1t1/2=t*a1a2/[2(a1+a2]
总位移为
S=V't=(a1a2*t^2)/[2(a1+a2)]
2.一辆汽车在笔直的公路上做匀变速直线运动,该公路每隔15m安置一个路标,汽车通过AB两相邻的路标用了2s,通过BC路标用了3s,求汽车分别通过A.B.C三个路标时的速度
解法一:
Vt=Vo+at
Vb=Va+2a
Vc=Va+(2+3)a=Va+5a
在AB和AC段平均速度分别为
V1=(Va+Vb)/2=(Va+Va+2a)/2=Va+a
V2=(Va+Vc)/2=Va+2.5a
位移=平均速度*时间
Sab=15=(Va+a)*2=2Va+2a.
Sac=2*15=30=(2+3)V2=5((Va+2.5a)
即 12=2Va+5a.
-得
a=-1m/s^2
代入得
Va=8.5m/s
Vb=Va+2a=8.5+2*(-1)=6.5m/s
Vc=Va+5a=8.5+5*(-1)=3.5m/s
解法二:
时间中点瞬时速度=平均速度
从过A的瞬时开始记时
A-->B的时间中点为 t1=1s
t1=1s的瞬时速度V1=Sab/2=15/2=7.5m/s
A-->C的时间中点为t2=(2+3)=2.5s
t2=2.5s的瞬时速度V2=Sac/(2+3)=30/5=6s/s
加速度 a=(V2-V1)/(t2-t1)=(6-7.5)/(2.5-1)=-1m/s^2
V1=Va+at1
Va=V1-at1=7.5-(-1)*1=7.5+1=8.5m/s
Vb=Va+2a=8.5+(-1)*2=6.5m/s
Bc=Va+5a=8.5+(-1)*5=3.5m/s
3.已知O A,B,C,为同一直线上的四点,AB间的距离为L1,BC间的距离为L2,一物体自O点由静止出发,沿此直线做匀加速运动,依次经过ABC三点,已知物体通过AB段所用的时间与BC段所用的时间相等,求O与A之间的距离.
设O-->A所用时间为T,A-->B和B-->C的时间皆为t,过B点的速度为V,O与A之间的距离为x
匀变速运动中,时间中点的瞬时速度=平均速度=位移/时间
t1=T+t/2的瞬时速度V1=A-->B的平均速度=L1/t
t2=T+(3/2)t的瞬时速度V2=B-->C平均速度=L2/t
加速度a=(V2-V1)/(t2-t1)=(L2-L1)/t^2
经过B点的时间 T+t 为t1和t2的时间中点,
时间中点的瞬时速度=平均速度=(初速+末速)/2
V=(V1+V2)/2=(L1+L2)/2t
O-->B时:
V^2=2a(x+L1)
[(L1+L2)^2]/(4t^2)=2[(L2-L1)/t^2](X+L1)
x+L1=[(L1+L2)^2]/[8((L2-L1)]
O与A之间的距离为
x={[(L1+L2)^2]/[8(L2-L1)]}-L1
4.有一质点从A点由静止沿直线运动到B,整个过程中可以以6.4m/s平方加速,也可以以1.6m/s平方减速,可以匀速直线运动,A到B间距离为1.6km,到达B点时速度为0 质点应该怎样运动,才能使运动时间最短,最短时间为多少
以a1=6.4m/s^2加速t1秒后,以|a2|=1.6m/s^2减速运动t2秒后并使末速度为0,
加速运动的末速度为 V=a1*t1=6.4t1
减速运动中,0=V-a2*t2=6.4t1-1.6t2,t1=4t2
全程平均速度V'=V/2=3.2t1,全程用时 t=t1+t2=5t1
S=V't
1600=(3.2t1)(5t1)=16(t1)^2
t1=10s
全程t=5t1=50s
在V-t图象中,上述过程对应于三角形OAB,O为坐标原点,B点在时间轴上,OB=t=50s,OA丶AB对应于加丶减速运动.这种过程用时最少.
如果是加速--匀速--减速,则在V--t图中对应一个梯形ACDE,CD//OA,E点在时间轴上,OE=运动总时间t'.因a1丶a2为定值,故C为三角形OA边上的一点,且DE//AB.三角形OAB和矩形ACDE的面积应相等.因为梯形上底CD在A点的下方,故梯形的DE边必在三角形AB边的右边才能使二者面积相等,CD交AB于F.小三角形ACF和平行四边形FDEB的面积相等.因OE>OB,故t'>t,加--匀--减模式比加--减模式用时多.
