定理证明的历史
代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用.据说,关于代数学基本定理的证明,现有200多种证法.迄今为止,该定理尚无纯代数方法的证明.大数学家 J.P.塞尔 曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的.他在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直观的证明,但是其中用到了和临界点测度有关的sard定理.复变函数论中,对代数基本定理的证明是相当优美的,其中用到了很多经典的复变函数的理论结果.
该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的,但证明不完整.接着,欧拉也给出了一个证明,但也有缺陷,拉格朗日于1772年又重新证明了该定理,后经高斯分析,证明仍然很不严格的.
代数基本定理的第一个严格证明通常认为是高斯给出的(1799年在哥廷根大学的博士论文),基本思想如下：
设f(z)为n次实系数多项式,记z=x+yi(x、y∈R),考虑方根：
f(x+yi)=u(x、y)+v(x、y)i=0?
即u(x、y)=0与v(x、y)=0?
这里u(x、y)=0 与v(x、y)=0分别表示oxy坐标平面上的两条曲线C1、C2,于是通过对曲线作定性的研究,他证明了这两条曲线必有一个交点z0=a+bi,从而得出u(a、b)=v(a、b)=0,即f(a+bi)=0,因此z0便是方程f(z)=0的一个根,这个论证具有高度的创造性,但从现代的标准看依然是不严格的,因为他依靠了曲线的图形,证明它们必然相交,而这些图形是比较复杂,正中隐含了很多需要验证的拓扑结论等等.
高斯后来又给出了另外三个证法,其中第四个证法是他71岁公布的,并且在这个证明中他允许多项式的系数是复数.
在复变函数论中的证明方法
在复变函数论中,有相当优美的传统证明方法.
设f(z)是n次多项式.如果f(z)=0没有根,那么g(z)=1/f(z)是复平面上全纯函数.由于f(z)是多项式,所以可证g(z)是有界的.由刘维尔定理,一个复平面上的全纯有界函数必为常数.从而g是常值函数,亦即f是常值函数,矛盾!故得证代数基本定理.
此定理也可以用关于留数公式的儒歇定理来证.但本质上都是拓扑的.
