底面ABCD是正方形,P为平面ABCD外一点PA⊥平面ABCD.求证:平面PBD⊥平面PAC

连接AC,BD
因为在正方形ABCD中
AC与BD是正方形有对角线
则AC⊥BD
因为PA⊥平面ABCD
且BD∈平面ABCD
所以PA⊥BD
所以BD⊥平面PAC
因为BD∈平面PBD
所以平面PBD⊥平面PAC
连接AC,BD,AC与BD相交于点O,连接PO
因为在正方形ABCD中,AC与BD是其对角线
则AC与BD互相垂直平分
因为PA⊥平面ABCD
则PA⊥AB,PA⊥AD
因为PA=AB=AD
所以△PAB≌△PAD
所以PA=PD
因为BO=DO
所以PO⊥BD
所以∠POA是二面角P-BD-A的的角
因为AO=AC/2=√(AB^2+BC^2)/2=√2AB/2=√2PA/2
所以tan∠POA=PA/AO
=PA/√2PA/2=√2